背景介紹 

雖然我們先學(xué)習(xí)的是傅里葉變換，但是實(shí)際上我先說(shuō)的是拉普拉斯變換，原因有二，首先是拉普拉斯變換更多的只是一種數(shù)學(xué)變換，相對(duì)理解更為單純，另外拉普拉斯比傅里葉年長(zhǎng)19歲，先出生的。所以拉普拉斯變換實(shí)際上出現(xiàn)時(shí)間早。

1. 1.什么是拉普拉斯變換

   拉普拉斯變換本質(zhì)上是一個(gè)數(shù)學(xué)工具，屬于一種積分變換，即將時(shí)域t的信號(hào)，轉(zhuǎn)變成了復(fù)數(shù)域s的信號(hào)。因此，拉氏系統(tǒng)仍然是時(shí)域系統(tǒng)，解決的問(wèn)題也是t的問(wèn)題。

   從邵博士看來(lái)，拉普拉斯巧妙解決了對(duì)于信號(hào)和系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述。

2. 2.信號(hào)與系統(tǒng)

   一個(gè)信號(hào)的性質(zhì)，可以很清晰地用關(guān)于t 的函數(shù)x(t)來(lái)展現(xiàn)出來(lái)，這是老百姓們喜聞樂(lè)見(jiàn)的。但是問(wèn)題來(lái)了，一個(gè)例如電阻、電感和電容組成的系統(tǒng)，該如何描述呢？一個(gè)信號(hào)進(jìn)入了系統(tǒng)之后的結(jié)果，又如何描述呢？

   拉普拉斯是這么考慮的：

   1.	信號(hào)x(t)通過(guò)拉普拉斯變換，可以轉(zhuǎn)換成X(s)。
   2.	一個(gè)系統(tǒng)，如果用一個(gè)沖擊函數(shù)δ(t)作為輸出，這個(gè)系統(tǒng)的輸出G(t)進(jìn)行拉普拉斯變換，就成為這個(gè)系統(tǒng)的所謂系統(tǒng)函數(shù)G(s)。
   3.	信號(hào)X(s)經(jīng)過(guò)系統(tǒng)G(s)之后的輸出是Y(s) =X(s)G(s)，其反變換y(t)就是輸出信號(hào)。

   總結(jié)來(lái)說(shuō)，在拉普拉斯看來(lái)，信號(hào)和系統(tǒng)的本質(zhì)是一樣的，都是用s的一串描述。一個(gè)任何信號(hào)X(s)經(jīng)過(guò)系統(tǒng)G(s)，和一個(gè)信號(hào)G(s)經(jīng)過(guò)系統(tǒng)X(s)，結(jié)果是完全一致的。從觀察者來(lái)說(shuō)，信號(hào)和系統(tǒng)沒(méi)有區(qū)別。或者說(shuō)“信號(hào)即系統(tǒng)，系統(tǒng)即信號(hào)”。

   

   皮埃爾-西蒙 拉普拉斯 Pierre-Simon Laplace 1749 ~ 1827

   拉普拉斯做了很多事情，研究了概率論，做過(guò)拿破侖的老師。但是他最大的貢獻(xiàn)是讓很多21世紀(jì)的電氣專業(yè)學(xué)生生活在拉普拉斯變換的恐懼中。

3. 3.一階系統(tǒng)分析

   假設(shè)有一個(gè)一階系統(tǒng)：

   

   我們現(xiàn)在要考察一個(gè)階躍信號(hào)x(t) = ε(t)進(jìn)入這個(gè)系統(tǒng)之后的輸出是啥樣子，該如何做呢？

   3.1 數(shù)學(xué)計(jì)算

   如果用數(shù)學(xué)計(jì)算的方法，那么首先計(jì)算階躍信號(hào)ε(t)的拉普拉斯變換，可以得到：

   

   這樣系統(tǒng)的輸出為：

   

   對(duì)輸出進(jìn)行拉普拉斯反變換，可以得到：

   

   這個(gè)時(shí)域信號(hào)在t = 0的時(shí)候是0，在t = +∞的時(shí)候是1。

   3.2 Matlab仿真結(jié)果

   為了有更好地直觀的感受，可以考察一下如圖表 2的階躍系統(tǒng)仿真。

   

   圖表 2 Matlab的一階系統(tǒng)階躍仿真模型

   

   圖表 3 一階系統(tǒng)階躍仿真結(jié)果

   這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)為  的系統(tǒng)又稱為“一階低通濾波器”，當(dāng)然，最終講清楚這件事情的是還沒(méi)有登場(chǎng)的傅里葉。一階系統(tǒng)可以是一階低通濾波器，也可以是一階高通濾波器。其中一階低通濾波器最為常見(jiàn)，因此本文主要講低通濾波器。直觀地說(shuō)，一階低通濾波器就是將信號(hào)變化的速度變緩慢，從一個(gè)鋒銳的階躍變成緩慢的上升。

   3.3 一階低通濾波器的時(shí)間常數(shù)

   不失一般性，我們給出一個(gè)一階低通濾波器的最常見(jiàn)的狀態(tài)：

   

   參照3.1的方法，可以得到其階躍響應(yīng)為：

   

   其中T就是一階低通濾波器的時(shí)間常數(shù)。很顯然，t越大，y(t)約接近于1。這個(gè)t的時(shí)間用時(shí)間常數(shù)T來(lái)衡量最合適不過(guò)。

   從表格 1可以看到，當(dāng)t = 3T時(shí)，y(t)達(dá)到了最終穩(wěn)定值的95.0%（3T原理），當(dāng)t = 5T時(shí)，y(t)達(dá)到了最終穩(wěn)定值的99.3%（5T原理）。

   

   表格 1 一階系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)計(jì)算

   從圖表 3也可以清晰地觀察到3T原理和5T原理的結(jié)果。

   3.4 一階低通濾波器的應(yīng)用

   

   圖表 4 經(jīng)過(guò)一階低通濾波器的輸入和輸出（左圖為輸入，右圖為輸出）

    

   這里討論一階低通濾波器的一種應(yīng)用。左圖為一階低通濾波器的信號(hào)輸入，在1s的時(shí)候，有一個(gè)長(zhǎng)度為100ms的有用脈沖信號(hào)進(jìn)入，在1.19s時(shí)，有一個(gè)長(zhǎng)度為0.1ms的干擾信號(hào)進(jìn)入。

   系統(tǒng)希望對(duì)有用信號(hào)進(jìn)行動(dòng)作，但是想消除干擾信號(hào)的影響。為了這個(gè)目的，構(gòu)筑一個(gè)低通濾波器：

   

   用圖表 5所示的仿真模型，可以得到圖表 4右圖的結(jié)果。可以看到，有用信號(hào)幾乎沒(méi)有太大的影響，而無(wú)用的信號(hào)由于時(shí)間寬度太窄，幾乎被消滅不見(jiàn)了。

   這種濾波器的設(shè)計(jì)，關(guān)鍵在于時(shí)間常數(shù)T。時(shí)間常數(shù)T越大，則有用信號(hào)的失真越大，但是對(duì)干擾的抑制越明顯。

   

   圖表 5 仿真模型

   賽思億至少在2個(gè)地方使用了上述的概念：

   ① PPB的光電編碼器濾波硬件電路設(shè)計(jì)。光電編碼器的輸出使用低通濾波器可以有效地減少干擾對(duì)信號(hào)的影響，特別是z通道的信號(hào)。但是需要注意的是，隨著轉(zhuǎn)速的升高以及分辨率的上升，有用信號(hào)脈沖寬度變窄，則時(shí)間常數(shù)T需要適當(dāng)降低。

   ② PLC中的對(duì)于DI信號(hào)輸入的濾波調(diào)整，采用軟件的方式構(gòu)筑低通濾波器來(lái)消除可能的干擾導(dǎo)致的DI誤響應(yīng)。

   3.5 二級(jí)系統(tǒng)響應(yīng)

   看完了一階系統(tǒng)響應(yīng)，我們來(lái)瞅瞅二階系統(tǒng)響應(yīng)。假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)分別為：

           和         

   兩者的階躍響應(yīng)可以從圖表 6看出一些端倪。G1(s)的階躍響應(yīng)出現(xiàn)了超調(diào)，而G2(s)的階躍響應(yīng)和一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)類似，只不過(guò)更慢。

   

   圖表 6 G1(s)和G2(s)的階躍響應(yīng)

    

   二階系統(tǒng)和一階系統(tǒng)不同的是，一階系統(tǒng)永遠(yuǎn)是穩(wěn)定的，而二階系統(tǒng)有可能是振蕩的，可能是穩(wěn)定但是具有超調(diào)，也可能是穩(wěn)定但是沒(méi)有超調(diào)，要復(fù)雜的多。

   所以教科書里面，往往會(huì)針對(duì)不同的二級(jí)系統(tǒng)，定義所謂的“振蕩系統(tǒng)”、“無(wú)阻尼系統(tǒng)”、“欠阻尼系統(tǒng)”、“臨界阻尼系統(tǒng)”和“過(guò)阻尼系統(tǒng)”等等。這些分析就不展開了。總之來(lái)說(shuō)，二級(jí)系統(tǒng)更加復(fù)雜。

4. 4.系統(tǒng)函數(shù)有什么用

   現(xiàn)在簡(jiǎn)單展開一下，系統(tǒng)函數(shù)或者說(shuō)拉普拉斯變換還有哪些用處呢？由于系統(tǒng)函數(shù)本質(zhì)上是對(duì)一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行了一個(gè)深度的數(shù)學(xué)描述，因此最大的優(yōu)勢(shì)就是可以用數(shù)學(xué)的計(jì)算定量地考察一個(gè)系統(tǒng)的性能。特別的，可以用來(lái)考察一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

   系統(tǒng)的穩(wěn)定性，經(jīng)典控制系統(tǒng)用所謂的極點(diǎn)來(lái)分析。一個(gè)控制系統(tǒng)，首先要追求整體系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一般采用閉環(huán)傳遞函數(shù)來(lái)表達(dá)。事實(shí)上閉環(huán)傳遞函數(shù)在控制器設(shè)計(jì)出來(lái)之前并不知道，所以一般采分析分析開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)，就可以知道控制的主要參數(shù)設(shè)計(jì)。這時(shí)候，一些經(jīng)典的工具，類似根軌跡法、奈奎斯特曲線法和羅素判據(jù)啥的就出來(lái)了，其實(shí)沒(méi)有啥實(shí)際工程作用。

   我們花了精力解釋了一下一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)。實(shí)際上，很多系統(tǒng)都是高階的，但是只要關(guān)注最右邊的極點(diǎn)，一般高階系統(tǒng)都可以湊湊合合近似成一階系統(tǒng)或者二階系統(tǒng)。

   然而這些系統(tǒng)通常仍然不實(shí)用，因?yàn)樯厦嫠忻枋龅南到y(tǒng)都屬于“線性時(shí)不變系統(tǒng)”，那些不屬于線性時(shí)不變系統(tǒng)都屬于超綱題了，考試不考的?？上У氖牵^大部分的系統(tǒng)都是這種討厭的非線性系統(tǒng)，一般來(lái)說(shuō)，要定性分析這些非線性系統(tǒng)就很難了，更不要說(shuō)什么零極點(diǎn)了。如果一定要分析，那么就會(huì)用小信號(hào)模型等方法進(jìn)行線性化處理。這里不多扯淡了，因?yàn)樯鄄┦空J(rèn)為小信號(hào)模型方法本身就沒(méi)啥用。

    

 邵博士小結(jié) 

本文給了幾個(gè)基本概念：信號(hào)、系統(tǒng)、以及描述系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

拉普拉斯變換，完成了從時(shí)域信號(hào)和系統(tǒng)函數(shù)的統(tǒng)一。

在我們看來(lái)，一個(gè)波形信號(hào)進(jìn)入了一個(gè)濾波器，輸出得到了另一個(gè)信號(hào)。

在拉普拉斯看來(lái)，波形信號(hào)經(jīng)過(guò)拉普拉斯變換是函數(shù)，濾波器特性經(jīng)過(guò)拉普拉斯變換也是函數(shù)，兩者沒(méi)有任何區(qū)別，這也是“信號(hào)即系統(tǒng)，系統(tǒng)即信號(hào)”的原因，而兩個(gè)函數(shù)的乘積得出了輸出信號(hào)。

這樣的變換和描述，竟然是一個(gè)普世不變的真理，這個(gè)就是信號(hào)與系統(tǒng)專業(yè)的基礎(chǔ)和奧秘。

在我看來(lái)：“這個(gè)變換不光給我的大學(xué)生涯平添了很多煩惱，同時(shí)也是我們電控世界的無(wú)上利器，而且他絕對(duì)公平，用的好不好就看我們自己。”